Python ::: Python para Engenharia ::: Cálculo Diferencial e Integral

Como calcular o limite de uma função usando Python e a biblioteca Sympy - Python para Engenharia

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Como calcular o limite de uma função usando Python e a biblioteca Sympy

Citando a Wikipédia: Na matemática, o limite de uma função é um conceito fundamental em cálculo e análise sobre o comportamento desta função quando próxima a um valor particular de sua variável independente. Informalmente, diz-se que __$\text{L}__$ é o limite da função __$\text{f(x)}__$ quando __$\text{x}__$ tende a __$\text{p}__$, escreve-se

\[ \lim_{x \to p} f(x) = L \]

quando __$\text{f(x)}__$ está arbitrariamente próximo de __$\text{L}__$ para todo __$\text{x}__$ suficientemente próximo de __$\text{p}__$. O conceito de limite pode ser estendido para funções de varias variáveis.

A biblioteca SymPy da linguagem Python facilita muito o trabalho de se calcular limites. É claro que é sempre uma boa idéia saber calcular o limite de uma função "na mão" mesmo, até para sabermos se nosso código Python está correto. No entanto, em algumas situações, lançar mão da função limit() da SymPy nos poupará um tempo incrível.

Dessa forma, a sintáxe para o cálculo do limite na SymPy segue o padrão limit(função, variável, ponto). Então, se quisermos calcular o limite de f(x) com x tendendo a 0, só precisamos fazer limit(f, x, 0).

Vamos colocar esse conhecimento em prática então? Veja o seguinte limite:

\[ \lim_{x \to 1} 5x^2 + 2x \]

Agora observe o código Python completo que calcula e retorna o limite desta função:

----------------------------------------------------------------------
Se precisar de ajuda com o código abaixo, pode me chamar
no WhatsApp +55 (62) 98553-6711 (Osmar)
----------------------------------------------------------------------

# vamos importar a biblioteca SymPy
from sympy import * 

def main():
  # vamos definir o símbolo x
  x = symbols("x")
  # definimos a função
  f = (5 * x ** 2) + (2 * x) 
  # finalmente calculamos o limite
  limite = limit(f, x, 1)
  # e mostramos o resultado
  print("O limite da função é: %f." % limite)

if __name__== "__main__":
  main()

Ao executar este código nós teremos o seguinte resultado:

O limite da função é: 7.000000.

Logo, o limite da função no ponto __$\text{x}__$ = 1 vale 7, em outras palavras, 7 é o valor que __$f(5x^2 + 2x)__$ deveria ter em 1 para ser contínua nesse ponto.

Vamos ver mais um exemplo? Observe o seguinte limite:

\[ \lim_{x \to 1} \left(\frac{x^2 - 1}{x - 1}\right) \]

Aqui temos um situação interessante. Note que temos que fazer uma manipulação algébrica na expressão, fatorando os termos. Porém, mesmo em situações assim o método limit() da Sympy consegue interpretar a expressão simbólica corretamente e nos devolver o limite esperado. Veja o código Python completo:

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----------------------------------------------------------------------

# vamos importar a biblioteca SymPy
from sympy import * 

def main():
  # vamos definir o símbolo x
  x = symbols("x")
  # definimos a função
  f = (x ** 2 - 1) / (x - 1) 
  # finalmente calculamos o limite
  limite = limit(f, x, 1)
  # e mostramos o resultado
  print("O limite da função é: %f." % limite)

if __name__== "__main__":
  main()

Ao executar este código Python nós teremos o seguinte resultado:

O limite da função é: 2.000000.

PHP ::: Dicas & Truques ::: Programação Orientada a Objetos

Programação Orientada a Objetos em PHP - Como criar e usar variáveis estáticas em PHP

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Como já vimos em outras dicas desta seção, uma classe possui propriedades (variáveis) e métodos. Dessa forma, cada instância (cópia ou objeto) desta classe possui suas próprias cópias das variáveis declaradas na classe.

Veja a seguinte declaração de uma classe Produto:

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<?
  // classe Produto com duas variáveis privadas e seus
  // correspondentes métodos mutatórios e acessórios
  class Produto{
    private $nome;
    private $preco;

    public function setNome($nome){
      $this->nome = $nome;
    }

    public function getNome(){
      return $this->nome;
    }

    public function setPreco($preco){
      $this->preco = $preco;
    }

    public function getPreco(){
      return $this->preco;
    }
  }
?>

Aqui cada instância da classe Produto terá suas próprias variáveis $nome e $preco.

Há, porém, situações nas quais gostaríamos que uma determinada variável pertencesse à classe e não à cada instância individual. Um bom exemplo disso seria uma variável que registra a quantidade de instâncias que temos de uma classe ou a técnica de se atribuir um identificador único a cada instância da classe.

Variáveis estáticas em PHP podem ser criadas por meio do uso da palavra-chave static. É comum tais variáveis serem declaradas com o modificador public, o que as torna acessíveis fora da classe na qual estas estão declaradas. Veja um exemplo:

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<?
  // classe Produto com duas variáveis privadas e seus
  // correspondentes métodos mutatórios e acessórios
  class Produto{
    private $nome;
    private $preco;
    
 
    // uma variável estática que permite contar as instâncias
    // desta classe
    public static $contador = 0;

    // construtor da classe Produto
    function __construct(){
      // vamos incrementar o contador aqui
      self::$contador++;
    }
  }

  // vamos criar duas instâncias da classe Produto
  $p1 = new Produto();
  $p2 = new Produto();

  // vamos obter o valor do contador de instâncias
  echo "Até este momento já criamos " . Produto::$contador .
    " instâncias da classe Produto"; 
?>

Este código possui alguns pontos interessantes e merece uma análise bem detalhada. Perceba que, dentro da classe, uma variável estática é acessada usando-se self e não $this, como fazemos com as variáveis de instâncias. Outra observação interessante é em relação ao acesso da variável estática fora da classe. Aqui nós usamos o nome da classe seguida por um par de dois pontos "::" e não por meio de referências às suas instâncias individuais. Finalmente observe o construtor da classe. A cada instância construída nós acessamos a variável estática e incrementamos seu valor em 1.

É importante observar que variáveis estáticas não podem ser acessadas por meio de referências às instâncias da classe usando o operador "->". Assim, o trecho de código abaixo:

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// vamos tentar alterar o valor da variável estática por meio
// de uma referência a uma das instâncias da classe Produto
$p1->contador = 5;

não provoca erros mas, também não traz o resultado esperado.

C# ::: Dicas & Truques ::: Data e Hora

Datas e horas em C# - Como obter o valor numérico do dia da semana para uma determinada data usando C#

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A propriedade DayOfWeek da classe DateTime da linguagem C# retorna um valor numérico que corresponde ao dia da semana. Assim, se o dia for domingo, o retorno será 0. Se for segunda-feira, o resultado será 1, e assim por diante.

Veja o código completo para o exemplo:

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using System;

namespace Estudos{
  class Program{
    static void Main(string[] args) {
      // domingo = 0, segunda = 1, etc
      DateTime agora = DateTime.Now;
      int dia_semana = (int)agora.DayOfWeek;
      Console.WriteLine("O valor numérico do dia da semana é: {0:D}", dia_semana);

      Console.WriteLine("\n\nPressione uma tecla para sair...");
      Console.ReadKey();
    }
  }
}

Ao executar este código nós teremos o seguinte resultado:

O valor numérico do dia da semana é: 2

PHP ::: PHP + MySQL ::: MySQL Improved Extension (mysqli)

Como estabelecer uma conexão PHP + MySQL no modo procedimental - Como se conectar ao banco MySQL usando PHP (modo procedural) usando mysqli_connect - Revisado)

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Nesta dica mostrarei como usar a função mysqli_connect da extensão mysqli para efetuar uma conexão PHP + MySQL usando o modo precedimental, ou seja, nada de programação orientada aqui, mas em outras dicas dessa seção você encontrará a forma de conexão orientada a objetos.

Veja um trecho de código completo no qual nos conectamos ao banco de dados MySQL e exibimos uma mensagem indicando o sucesso da operação:

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<?
  // vamos efetuar a conexão com o banco
  $conexao = mysqli_connect("localhost", "root",
    "osmar1234", "estudos");  

  // conexão efetuada com sucesso?
  if(mysqli_connect_errno()) {
    echo "Não foi possível efetuar a conexão com o MySQL: "
      . mysqli_connect_error();
    // vamos sair daqui
    exit();
  }
  else{
    echo "Conexão efetuada com sucesso.";
    // fecha a conexão
    mysqli_close($conexao);
  }
?>

Este trecho de código foi revisado e testado no PHP 8.

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