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Python ::: Python para Engenharia ::: Cálculo Diferencial e Integral |
Como calcular o limite de uma função usando Python e a biblioteca Sympy - Python para EngenhariaQuantidade de visualizações: 4687 vezes |
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Como calcular o limite de uma função usando Python e a biblioteca Sympy Citando a Wikipédia: Na matemática, o limite de uma função é um conceito fundamental em cálculo e análise sobre o comportamento desta função quando próxima a um valor particular de sua variável independente. Informalmente, diz-se que __$\text{L}__$ é o limite da função __$\text{f(x)}__$ quando __$\text{x}__$ tende a __$\text{p}__$, escreve-se \[ \lim_{x \to p} f(x) = L \] quando __$\text{f(x)}__$ está arbitrariamente próximo de __$\text{L}__$ para todo __$\text{x}__$ suficientemente próximo de __$\text{p}__$. O conceito de limite pode ser estendido para funções de varias variáveis. A biblioteca SymPy da linguagem Python facilita muito o trabalho de se calcular limites. É claro que é sempre uma boa idéia saber calcular o limite de uma função "na mão" mesmo, até para sabermos se nosso código Python está correto. No entanto, em algumas situações, lançar mão da função limit() da SymPy nos poupará um tempo incrível. Dessa forma, a sintáxe para o cálculo do limite na SymPy segue o padrão limit(função, variável, ponto). Então, se quisermos calcular o limite de f(x) com x tendendo a 0, só precisamos fazer limit(f, x, 0). Vamos colocar esse conhecimento em prática então? Veja o seguinte limite: \[ \lim_{x \to 1} 5x^2 + 2x \] Agora observe o código Python completo que calcula e retorna o limite desta função:
# vamos importar a biblioteca SymPy
from sympy import *
def main():
# vamos definir o símbolo x
x = symbols("x")
# definimos a função
f = (5 * x ** 2) + (2 * x)
# finalmente calculamos o limite
limite = limit(f, x, 1)
# e mostramos o resultado
print("O limite da função é: %f." % limite)
if __name__== "__main__":
main()
Ao executar este código nós teremos o seguinte resultado: O limite da função é: 7.000000. Logo, o limite da função no ponto __$\text{x}__$ = 1 vale 7, em outras palavras, 7 é o valor que __$f(5x^2 + 2x)__$ deveria ter em 1 para ser contínua nesse ponto. Vamos ver mais um exemplo? Observe o seguinte limite: \[ \lim_{x \to 1} \left(\frac{x^2 - 1}{x - 1}\right) \] Aqui temos um situação interessante. Note que temos que fazer uma manipulação algébrica na expressão, fatorando os termos. Porém, mesmo em situações assim o método limit() da Sympy consegue interpretar a expressão simbólica corretamente e nos devolver o limite esperado. Veja o código Python completo:
# vamos importar a biblioteca SymPy
from sympy import *
def main():
# vamos definir o símbolo x
x = symbols("x")
# definimos a função
f = (x ** 2 - 1) / (x - 1)
# finalmente calculamos o limite
limite = limit(f, x, 1)
# e mostramos o resultado
print("O limite da função é: %f." % limite)
if __name__== "__main__":
main()
Ao executar este código Python nós teremos o seguinte resultado: O limite da função é: 2.000000. |
Ruby ::: Dicas & Truques ::: Data e Hora |
Como retornar os minutos em Ruby a partir de um objeto da classe Time usando a função minQuantidade de visualizações: 6516 vezes |
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Muitas vezes precisamos obter os minutos de uma determinada hora a partir de um determinado objeto Time. Para isso a classe Time nos fornece o método min. Este método retorna um número inteiro na faixa 0..59. Veja uma demonstração de como usar este método no trecho de código a seguir: # constrói um objeto Time com a data e hora atual agora = Time.now # obtém os minutos minutos = agora.min # exibe o resultado puts "Os minutos são: " + minutos.to_s Ao executar este código Ruby nós teremos o seguinte resultado: Os minutos são: 7 |
PHP ::: Dicas & Truques ::: Programação Orientada a Objetos |
Programação Orientada a Objetos em PHP - Como criar e usar variáveis estáticas em PHPQuantidade de visualizações: 10395 vezes |
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Como já vimos em outras dicas desta seção, uma classe possui propriedades (variáveis) e métodos. Dessa forma, cada instância (cópia ou objeto) desta classe possui suas próprias cópias das variáveis declaradas na classe. Veja a seguinte declaração de uma classe Produto:
<?
// classe Produto com duas variáveis privadas e seus
// correspondentes métodos mutatórios e acessórios
class Produto{
private $nome;
private $preco;
public function setNome($nome){
$this->nome = $nome;
}
public function getNome(){
return $this->nome;
}
public function setPreco($preco){
$this->preco = $preco;
}
public function getPreco(){
return $this->preco;
}
}
?>
Aqui cada instância da classe Produto terá suas próprias variáveis $nome e $preco. Há, porém, situações nas quais gostaríamos que uma determinada variável pertencesse à classe e não à cada instância individual. Um bom exemplo disso seria uma variável que registra a quantidade de instâncias que temos de uma classe ou a técnica de se atribuir um identificador único a cada instância da classe. Variáveis estáticas em PHP podem ser criadas por meio do uso da palavra-chave static. É comum tais variáveis serem declaradas com o modificador public, o que as torna acessíveis fora da classe na qual estas estão declaradas. Veja um exemplo:
<?
// classe Produto com duas variáveis privadas e seus
// correspondentes métodos mutatórios e acessórios
class Produto{
private $nome;
private $preco;
// uma variável estática que permite contar as instâncias
// desta classe
public static $contador = 0;
// construtor da classe Produto
function __construct(){
// vamos incrementar o contador aqui
self::$contador++;
}
}
// vamos criar duas instâncias da classe Produto
$p1 = new Produto();
$p2 = new Produto();
// vamos obter o valor do contador de instâncias
echo "Até este momento já criamos " . Produto::$contador .
" instâncias da classe Produto";
?>
Este código possui alguns pontos interessantes e merece uma análise bem detalhada. Perceba que, dentro da classe, uma variável estática é acessada usando-se self e não $this, como fazemos com as variáveis de instâncias. Outra observação interessante é em relação ao acesso da variável estática fora da classe. Aqui nós usamos o nome da classe seguida por um par de dois pontos "::" e não por meio de referências às suas instâncias individuais. Finalmente observe o construtor da classe. A cada instância construída nós acessamos a variável estática e incrementamos seu valor em 1. É importante observar que variáveis estáticas não podem ser acessadas por meio de referências às instâncias da classe usando o operador "->". Assim, o trecho de código abaixo: // vamos tentar alterar o valor da variável estática por meio // de uma referência a uma das instâncias da classe Produto $p1->contador = 5; não provoca erros mas, também não traz o resultado esperado. |
Delphi ::: Dicas & Truques ::: Data e Hora |
Como adicionar ou subtrair dias de uma data em Delphi usando a função IncDay()Quantidade de visualizações: 25617 vezes |
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Em algumas situações precisamos adicionar ou subtrair dias de uma determinada data. Em Delphi isso pode ser feito com o auxílio da função IncDay() da unit DateUtils. Este função aceita um TDateTime e a quantidade de dias que queremos acrescentar ao TDateTime fornecido como argumento. O retorno será um novo TDateTime com a quantidade de dias acrescida. Veja um trecho de código no qual adicionamos 4 dias à data atual:
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
hoje: TDateTime;
begin
// não esqueça de adicionar DateUtils ao seus uses
// vamos obter a data de hoje
hoje := Now;
// vamos exibir a data de hoje
ShowMessage('Hoje é: ' + DateToStr(hoje));
// vamos adicionar 4 dias à data de hoje
hoje := IncDay(hoje, 4);
// vamos exibir o resultado
ShowMessage('Daqui a 4 dias será: ' + DateToStr(hoje));
end;
É possível também usar a função IncDay() para substrair dias de uma data. Para isso só precisamos fornecer uma quantidade negativa de dias. Veja:
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
hoje: TDateTime;
begin
// não esqueça de adicionar DateUtils ao seus uses
// vamos obter a data de hoje
hoje := Now;
// vamos exibir a data de hoje
ShowMessage('Hoje é: ' + DateToStr(hoje));
// vamos subtrair 5 dias da data de hoje
hoje := IncDay(hoje, -5);
// vamos exibir o resultado
ShowMessage('Há 5 dias era: ' + DateToStr(hoje));
end;
O valor padrão para o segundo argumento de IncDay() é 1. Para fins de compatibilidade, esta dica foi escrita usando Delphi 2009. |
Java ::: Dicas & Truques ::: Data e Hora |
Java para iniciantes - Como usar a classe Date em suas aplicações JavaQuantidade de visualizações: 14420 vezes |
A classe Date pertence ao pacote java.util, e, embora muitos de seus métodos estejam em desuso (Deprecated), ainda encontraremos muito código Java que usa esta classe para trabalhar com datas e horas. Veja sua posição na hierarquia de classes Java:java.lang.Object java.util.Date Esta classe implementa as interfaces Serializable, Cloneable e Comparable<Date> e suas subclasses conhecidas são Date, Time, Timestamp (todas do pacote java.sql). As informações abaixo podem ser encontradas na documentação da classe Date. A classe Date representa um momento específico no tempo, com uma precisão de milisegundos. Antes do JDK 1.1, esta classe tinha duas funções adicionais. Ela permitia a interpretação de datas como valores de ano, mês, dia, hora, minuto e segundo. Também permitia a formatação e parsing de strings de datas. Infelizmente, a API para estas funções não facilitava a internacionalização. Assim, a partir do JDK 1.1, a classe Calendar deve ser usada para converter entre campos de datas e horas e a classe DateFormat deve ser usada para formatar e fazer o parsing de strings de datas. Os métodos correspondentes a estas funções estão em desuso (Deprecated) na classe Date. Embora a classe Date tenha sido projetada para refletir a hora universal coordenada (Coordinated Universal Time - UTC), ela pode não ser capaz de fazer isso corretamente, dependendo do sistema no qual a Java Virtual Machine esteja sendo executada. A grande maioria dos sistemas operacionais modernos assume que 1 dia = 24 × 60 × 60 = 86400 segundos em todos os casos. No UTC, contudo, de dois em dois anos, aproximadamente, há um segundo extra, chamado de "leap second" (a mesma idéia do ano bissexto). O leap second é sempre adicionado como o último segundo do dia e sempre nos dias 31 de dezembro ou 30 de junho. Por exemplo, o último minuto do ano de 1995 teve 61 segundos, graças ao segundo extra que foi adicionado. A maioria dos relógios dos computadores não são precisos o suficiente para refletir a distinção do leap second. Alguns padrões de computadores são definidos em termos da hora de Greenwich (Greenwich mean time - GMT), que é o equivalente ao Universal Time (UT). GMT é o nome "civil" para o padrão, UT é o nome "científico" para o mesmo padrão. A distinção entre UTC e UT é que UTC é baseado em um relógio atômico e UT é baseado em observações astronômicas, o que para todos os propósitos práticos não traz diferença significativa. Devido à rotação da terra não ser uniforme (ela desacelera ou acelera de formas complicadas), O UT nem sempre flui uniformente. Segundos extras (Leap seconds) são inseridos conforme necessário no UTC de forma a mantê-lo dentro dos 0.9 segundos do UT1, que é uma versão do UT com algumas correções aplicadas. Há outros sistemas de datas e horas também; por exemplo, a escala de tempo pelo sistema de posicionamento global baseado em satélite (satellite-based global positioning system - GPS) é sincronizado com o UTC mas não é ajustado para os segundos extras. Em todos os métodos da classe Date que aceitam ou retornam valores de ano, mês, dia, hora, minuto e segundos, as seguintes representações são usadas:
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