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GNU Octave ::: Desafios e Lista de Exercícios Resolvidos ::: Pesquisa Operacional

Exercício Resolvido de Octave - Programação Linear - Um fazendeiro decidiu misturar duas rações, a Ração X e a Ração Y. Cada porção de ração dada aos animais

Quantidade de visualizações: 531 vezes
Pergunta/Tarefa:

Este exercício de Octave aborda o uso da função glpk() para resolver um problema de Pesquisa Operacional usando Programação Linear.

1) Um fazendeiro decidiu misturar duas rações, a Ração X e a Ração Y. Cada porção de ração dada aos animais exige 60g de proteína e 30g de gordura. A Ração X possui 15g de proteína e 10g de gordura, e custa R$ 80,00 a unidade. A Ração Y apresenta 20g de proteína e 5g de gordura e custa R$ 50,00 a unidade.

Quanto de cada ração deve ser usada para minimizar os custos do fazendeiro?

Sua saída deverá ser parecida com:

A solução para o problema de minimização é:

x = 2.40
y = 1.20

O custo mínimo é: 252.00
Resposta/Solução:

Antes de passarmos ao código Octave, vamos fazer a modelagem matemática do problema. O primeiro passo é identificar as variáveis. Assim, vamos chamar de x o número de unidades da Ração X e de y o número de unidades da Ração Y. Veja:

x = Número de unidades da Ração X
y = Número de unidades da Ração Y

E então temos a função custo:

custo = 80x + 50y

A primeira restrição diz respeito à quantidade de proteína em cada porção de ração. Sabendo que a Ração X apresenta 15g de proteína e a Ração Y apresenta 20g de proteína nós temos:

R1: 15x + 20y >= 60 (proteína)

A segunda restrição diz respeito à quantidade de gordura em cada porção de ração. Sabendo que a Ração X apresenta 10g de gordura e a Ração Y apresenta 5g de gordura nós temos:

R2: 10x + 5y >= 30 (gordura)

As restrições R3 e R4 dizem respeito à não negatividade das variáveis de decisão:

R3: x >= 0
R4: y >= 0

Veja agora o código Octave completo (pesquisa_operacional.m):

# vamos começar definindo a matriz que representa a função de
# minimização
c = [80.0, 50.0]';

# agora a matriz de restrições
A = [15, 20; 10, 5];
b = [60, 30]';

# as restrições de não negatividade e o limite superior
lb = [0, 0]';
ub = [];

# definimos as restrições como limites inferiores
ctype = "LL";

# indicamos que vamos usar variáveis contínuas (não inteiros)
vartype = "CC";

# vamos usar minimização, por isso definimos o valor 1. Se fosse
# maximização o valor seria -1
s = 1;

# definimos os parâmetros adicionais
param.msglev = 1;
param.itlim = 100;

# e chamamos a função glpk()
[xmin, fmin, status, extra] = glpk(c, A, b, lb, ub, ctype, vartype, s, param);

# mostramos a solução para o problema de minimização
printf("A solução para o problema de minimização é:\n\n");
printf("x = %.2f\n", xmin(1));
printf("y = %.2f\n", xmin(2));

# para finalizar vamos mostrar o custo mínimo
printf("\nO custo mínimo é: %.2f\n\n", fmin);

Ao executar o código você perceberá que, para minimizar os custos do fazendeiro, deverão ser usados na mistura 2,4 unidades da Ração X e 1,2 unidades da Raça Y, a um custo mínimo de R$ 252,00.


jQuery ::: Dicas & Truques ::: Manipulação e Conteúdo Dinâmico

Como definir o conteúdo de um elemento HTML usando o método text() do jQuery

Quantidade de visualizações: 7481 vezes
O método text("conteudo") nos permite definir o conteúdo de um elemento HTML de forma muito simplificada. Veja um trecho de código que define o conteúdo de uma DIV com o id "div_1":

<script type="text/javascript">
<!--
  function definirTexto(){
    var texto = "Veja este texto";
    
    // Define o texto para o elemento DIV
    $('#div_1').text(texto);
  }
//-->
</script>

Lembre-se de que este método atuará em todos os elementos retornados sob uma determinada condição. Observe ainda que este método substitui "<" e ">" por "&lt;" e "&gt;".

O retorno deste método é um objeto jQuery, que pode ser usado para possíveis encadeamentos de chamadas de métodos.


Java ::: Dicas & Truques ::: Ordenação e Pesquisa (Busca)

Java Insertion Sort - Como ordenar um vetor de inteiros usando a ordenação Insertion Sort (Ordenação por Inserção)

Quantidade de visualizações: 4971 vezes
A ordenação Insertion Sort, Insertion-Sort, ou Ordenação por Inserção, possui uma complexidade de tempo de execução igual à ordenação Bubble Sort (Ordenação da Bolha), ou seja, O(n2). Embora mais rápido que o Bubble Sort, e ser um algorítmo de ordenação quadrática, a ordenação Insertion Sort é bastante eficiente para problemas com pequenas entradas, sendo o mais eficiente entre os algoritmos desta ordem de classificação, porém, nunca recomendada para um grande conjunto de dados.

A forma mais comum para o entendimento da ordenação Insertion Sort é compará-la com a forma pela qual algumas pessoas organizam um baralho num jogo de cartas. Imagine que você está jogando cartas. Você está com as cartas na mão e elas estão ordenadas. Você recebe uma nova carta e deve colocá-la na posição correta da sua mão de cartas, de forma que as cartas obedeçam à ordenação.

A cada nova carta adicionada à sua mão de cartas, a nova carta pode ser menor que algumas das cartas que você já tem na mão ou maior, e assim, você começa a comparar a nova carta com todas as cartas na sua mão até encontrar sua posição correta. Você insere a nova carta na posição correta, e, novamente, a sua mão é composta de cartas totalmente ordenadas. Então, você recebe outra carta e repete o mesmo procedimento. Então outra carta, e outra, e assim por diante, até não receber mais cartas.

Esta é a ideia por trás da ordenação por inserção. Percorra as posições do vetor (array), começando com o índice 1 (um). Cada nova posição é como a nova carta que você recebeu, e você precisa inseri-la no lugar correto no sub-vetor ordenado à esquerda daquela posição.

Vamos ver a implementação na linguagem Java agora? Observe o seguinte código, no qual temos um vetor de inteiros com os elementos {4, 6, 2, 8, 1, 9, 3, 0, 11}:

package arquivodecodigos;
 
public class Estudos{
  // método que permite ordenar o vetor de inteiros
  // usando a ordenação Insertion Sort
  public static void insertionSort(int[] vetor){
    // percorre todos os elementos do vetor começando
    // pelo segundo elemento
    for(int i = 1; i < vetor.length; i++){
      int atual = vetor[i]; // o valor atual a ser inserido
      // começa a comparar com a célula à esquerda de i
      int j = i - 1;
      
      // enquanto vetor[j] estiver fora de ordem em relação
      // a atual
      while((j >= 0) && (vetor[j] > atual)){
        // movemos vetor[j] para a direita e decrementamos j
        vetor[j + 1] = vetor[j];
        j--;
      }
      
      // colocamos atual em seu devido lugar
      vetor[j + 1] = atual;
    }
  }  
    
  public static void main(String args[]){
    // vamos criar um vetor com 9 elementos
    int valores[] = {4, 6, 2, 8, 1, 9, 3, 0, 11};
    
    // exibimos o vetor na ordem original
    System.out.println("Ordem original:\n");
    for(int i = 0; i < valores.length; i++){
      System.out.print(valores[i] + "  ");  
    }
    
    // vamos ordenar o vetor agora
    insertionSort(valores);
    
    // exibimos o vetor ordenado
    System.out.println("\n\nOrdenado:\n");
    for(int i = 0; i < valores.length; i++){
      System.out.print(valores[i] + "  ");  
    }
  }
}

Ao executar este código Java nós teremos o seguinte resultado:

Sem ordenação:

4 6 2 8 1 9 3 0 11

Ordenada usando Insertion Sort:

0 1 2 3 4 6 8 9 11


Python ::: Dicas & Truques ::: Lista (List)

Como percorrer os elementos de uma lista Python usando o laço for e índices

Quantidade de visualizações: 14074 vezes
Nesta dica eu mostro como é possível usar o laço for da linguagem Python para percorrer individual os elementos de uma list. Veja o código completo para o exemplo:

# função principal do programa
def main():
  # cria uma lista de nomes
  nomes = ['Carlos', 'Ricardo', 'Osmar']
 
  # percorre a lista usando o laço for
  for i in range(len(nomes)):
    print("%d - %s" % ((i + 1), nomes[i]))
  
if __name__== "__main__":
  main()

Ao executar este código Python nós teremos o seguinte resultado:

1 - Carlos
2 - Ricardo
3 - Osmar


Portugol ::: Dicas & Truques ::: Geometria, Trigonometria e Figuras Geométricas

Como calcular o coeficiente angular de uma reta em Portugol dados dois pontos no plano cartesiano

Quantidade de visualizações: 693 vezes
O Coeficiente Angular de uma reta é a variação, na vertical, ou seja, no eixo y, pela variação horizontal, no eixo x. Sim, isso mesmo. O coeficiente angular de uma reta tem tudo a ver com a derivada, que nada mais é que a taxa de variação de y em relação a x.

Vamos começar analisando o seguinte gráfico, no qual temos dois pontos distintos no plano cartesiano:



Veja que o segmento de reta AB passa pelos pontos A (x=3, y=6) e B (x=9, y=10). Dessa forma, a fórmula para obtenção do coeficiente angular m dessa reta é:

\[\ \text{m} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = tg \theta \]

Note que __$\Delta y__$ e __$\Delta x__$ são as variações dos valores no eixo das abscissas e no eixo das ordenadas. No triângulo retângulo que desenhei acima, a variação __$\Delta y__$ se refere ao comprimento do cateto oposto e a variação __$\Delta y__$ se refere ao comprimento do cateto adjascente.

Veja agora o trecho de código na linguagem Portugol que solicita as coordenadas x e y dos dois pontos, efetua o cálculo e mostra o coeficiente angular m da reta que passa pelos dois pontos:

// Calcular o coeficiente angular de uma reta em Portugol

programa {
  // vamos incluir a biblioteca Matematica
  inclua biblioteca Matematica --> mat
  
  funcao inicio() {
    // coordenadas dos dois pontos
    real x1, y1, x2, y2
    // guarda o coeficiente angular
    real m

    // x e y do primeiro ponto
    escreva("Coordenada x do primeiro ponto: ")
    leia(x1)
    escreva("Coordenada y do primeiro ponto: ")
    leia(y1)

    // x e y do segundo ponto
    escreva("Coordenada x do segundo ponto: ")
    leia(x2)
    escreva("Coordenada y do segundo ponto: ")
    leia(y2)

    // vamos calcular o coeficiente angular
    m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

    // mostramos o resultado
    escreva("O coeficiente angular é: ", m) 
  }
}

Ao executar este código Portugol Webstudio nós teremos o seguinte resultado:

Coordenada x do primeiro ponto: 3
Coordenada y do primeiro ponto: 6
Coordenada x do segundo ponto: 9
Coordenada y do segundo ponto: 10
O coeficiente angular é: 0.6666666666666666

No entanto, fique atento às propriedades do coeficiente angular da reta:

1) O coeficiente angular é positivo quando a reta for crescente, ou seja, m > 0;

2) O coeficiente angular é negativo quando a reta for decrescente, ou seja, m < 0;

3) Se a reta estiver na horizontal, ou seja, paralela ao eixo x, seu coeficiente angular é zero (0).

4) Se a reta estiver na vertical, ou seja, paralela ao eixo y, o coeficiente angular não existe.


Desafios, Exercícios e Algoritmos Resolvidos de Portugol

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