Usando o método getKeyCode() da classe KeyEvent para detectar as teclas de função F1, F2, F3, F4, etc

package estudos;

import java.awt.Container;
import java.awt.FlowLayout;
import java.awt.event.KeyEvent;
import java.awt.event.KeyListener;
import javax.swing.JFrame;
import javax.swing.JOptionPane;

public class Janela extends JFrame implements KeyListener{
  public Janela(){
    super("Eventos do Teclado");
    Container c = getContentPane();
    FlowLayout layout = new FlowLayout(FlowLayout.LEFT);
    c.setLayout(layout);
    
    // vamos adicionar o objeto listener 
    addKeyListener(this);

    setSize(350, 250);
    setVisible(true);
  }
    
  @Override
  public void keyPressed(KeyEvent e){
    // a tecla F1 foi pressionada
    if(e.getKeyCode() == KeyEvent.VK_F1){
      JOptionPane.showMessageDialog(null, "A tecla F1 foi pressionada");
    }
    else{
      JOptionPane.showMessageDialog(null, "A tecla F1 não foi pressionada");  
    }
  }
    
  @Override
  public void keyReleased(KeyEvent e){
    // sem implementação
  }

  @Override
  public void keyTyped(KeyEvent e){
    // sem implementação
  }   
  
  public static void main(String args[]){
    Janela j = new Janela();
    j.setDefaultCloseOperation(JFrame.EXIT_ON_CLOSE);
  }
}