Usando a propriedade Database da classe DbConnection para retornar o nome da base de dados à qual estamos conectados (ou pretendemos nos conectar)

private void button2_Click(object sender, EventArgs e){
  // vamos obter o valor da propriedade Database
  // conn é uma referência a um objeto da classe SqlConnection
  string nomeBaseDados = conn.Database; 

  // vamos mostrar o resultado
  MessageBox.Show("O nome da base de dados é: " + nomeBaseDados);
}

private void button2_Click(object sender, EventArgs e){
  // vamos fechar a conexão com o banco de dados e verificar se
  // mesmo assim nós conseguimos obter o nome da base de dados
  conn.Close();  

  // vamos obter o valor da propriedade Database
  // conn é uma referência a um objeto da classe SqlConnection
  string nomeBaseDados = conn.Database; 

  // vamos mostrar o resultado
  MessageBox.Show("O nome da base de dados é: " + nomeBaseDados);
}

private void button2_Click(object sender, EventArgs e){
  // vamos criar uma instância de SqlConnection
  SqlConnection conexao = new SqlConnection();  

  // vamos obter o valor da propriedade Database
  string nomeBaseDados = conexao.Database; 

  // vamos mostrar o resultado
  MessageBox.Show("O nome da base de dados é: " + nomeBaseDados);
}