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Verificar se uma string é maior, menor ou igual a outra (desconsiderando maiúsculas e minúsculas)

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string palavra1 = "AACD";
string palavra2 = "aacd";

if(String.Compare(palavra1, palavra2, true) > 0)
  Console.WriteLine("Palavra1 é maior que palavra2");
else if (String.Compare(palavra1, palavra2, true) < 0)
  Console.WriteLine("Palavra1 é menor que palavra2");
else
  Console.WriteLine("Palavra1 é igual a palavra2");

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