Como criar um arquivo de conexão PHP + MySQL e incluí-lo nas demais páginas PHP do seu projeto - Atualizado - Somente PHP 5.6 e anteriores

<?
  function obter_conexao_php_mysql(){
    // Parâmetros de conexão
    $server = "localhost";
    $usuario = "root";
    $senha = "osmar1234";
    $base = "estudos";
      
    // Tenta efetuar a conexão
    $conexao = mysql_connect($server, $usuario, $senha);
 
    // Testa se a conexão foi efetuada com sucesso
    if(!$conexao)
      die('Falha ao conectar: ' . mysql_error());
   
    // conexão efetuada com sucesso. Podemos definir qual
    // base de dados será usada
    $db_selected = mysql_select_db($base, $conexao);
     
    // testa se a base foi selecionada com sucesso.
    if(!$db_selected)
      die("Falha ao selecionar o banco: " . mysql_error());
       
    return $conexao;
  }
   
  function fechar_conexao_php_mysql($conn){
    mysql_close($conn);
  }
?>

<?
  require("conexao.php");
   
  // obtém a conexão com o banco MySQL
  $conexao = obter_conexao_php_mysql();
   
  /*
    Outros códigos de manipulação dos dados
    no banco de dados vão aqui
  */
   
  // fecha a conexão
  fechar_conexao_php_mysql($conexao);
?>