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Lista de Exercícios Resolvidos: Java | Python | VisuAlg | Portugol | C | C# | VB.NET | C++
Você está aqui: Python ::: Dicas & Truques ::: Geometria, Trigonometria e Figuras Geométricas

Como calcular o coeficiente angular de uma reta em Python dados dois pontos no plano cartesiano

Quantidade de visualizações: 2802 vezes
O Coeficiente Angular de uma reta é a variação, na vertical, ou seja, no eixo y, pela variação horizontal, no eixo x. Sim, isso mesmo. O coeficiente angular de uma reta tem tudo a ver com a derivada, que nada mais é que a taxa de variação de y em relação a x.

Vamos começar analisando o seguinte gráfico, no qual temos dois pontos distintos no plano cartesiano:



Veja que o segmento de reta AB passa pelos pontos A (x=3, y=6) e B (x=9, y=10). Dessa forma, a fórmula para obtenção do coeficiente angular m dessa reta é:

\[\ \text{m} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = tg \theta \]

Note que __$\Delta y__$ e __$\Delta x__$ são as variações dos valores no eixo das abscissas e no eixo das ordenadas. No triângulo retângulo que desenhei acima, a variação __$\Delta y__$ se refere ao comprimento do cateto oposto e a variação __$\Delta y__$ se refere ao comprimento do cateto adjascente.

Veja agora o trecho de código na linguagem Python que solicita as coordenadas x e y dos dois pontos, efetua o cálculo e mostra o coeficiente angular m da reta que passa pelos dois pontos:

# vamos importar o módulo Math
import math as math

def main():
  # x e y do primeiro ponto
  x1 = float(input("Coordenada x do primeiro ponto: "))
  y1 = float(input("Coordenada y do primeiro ponto: "))

  # x e y do segundo ponto
  x2 = float(input("Coordenada x do segundo ponto: "))
  y2 = float(input("Coordenada y do segundo ponto: "))

  # agora vamos calcular o coeficiente angular
  m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

  # e mostramos o resultado
  print("O coeficiente angular é: %f\n\n" % m)
  
if __name__== "__main__":
  main()

Ao executar este código em linguagem Python nós teremos o seguinte resultado:

Coordenada x do primeiro ponto: 3
Coordenada y do primeiro ponto: 6
Coordenada x do segundo ponto: 9
Coordenada y do segundo ponto: 10
O coeficiente angular é: 0.666667

Veja agora como podemos calcular o coeficiente angular da reta que passa pelos dois pontos usando o Teorema de Pitágoras. Note que agora nós estamos tirando proveito da tangente do ângulo Theta (__$\theta__$), também chamado de ângulo Alfa ou Alpha (__$\alpha__$):

# vamos importar o módulo Math
import math as math

def main():
  # x e y do primeiro ponto
  x1 = float(input("Coordenada x do primeiro ponto: "))
  y1 = float(input("Coordenada y do primeiro ponto: "))

  # x e y do segundo ponto
  x2 = float(input("Coordenada x do segundo ponto: "))
  y2 = float(input("Coordenada y do segundo ponto: "))

  # vamos obter o comprimento do cateto oposto
  cateto_oposto = y2 - y1
  # e agora o cateto adjascente
  cateto_adjascente = x2 - x1
  # vamos obter o ângulo tetha, ou seja, a inclinação da hipetunesa
  # (em radianos, não se esqueça)
  tetha = math.atan2(cateto_oposto, cateto_adjascente)
  # e finalmente usamos a tangente desse ângulo para calcular
  # o coeficiente angular
  tangente = math.tan(tetha)

  # e mostramos o resultado
  print("O coeficiente angular é: %f\n\n" % tangente)
  
if __name__== "__main__":
  main()

Ao executar este código você verá que o resultado é o mesmo. No entanto, fique atento às propriedades do coeficiente angular da reta:

1) O coeficiente angular é positivo quando a reta for crescente, ou seja, m > 0;

2) O coeficiente angular é negativo quando a reta for decrescente, ou seja, m < 0;

3) Se a reta estiver na horizontal, ou seja, paralela ao eixo x, seu coeficiente angular é zero (0).

4) Se a reta estiver na vertical, ou seja, paralela ao eixo y, o coeficiente angular não existe.

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Java ::: Desafios e Lista de Exercícios Resolvidos ::: Arrays e Matrix (Vetores e Matrizes)

Exercícios e Algorítmos Resolvidos de Java - Programa Java para somar os elementos da diagonal secundária de uma matriz

Quantidade de visualizações: 8989 vezes
Pergunta/Tarefa:

Em álgebra linear, a diagonal secundária de uma matriz A é a coleção das entradas Aij em que i + j é igual a n + 1 (onde n é a ordem da matriz). A diagonal secundária de uma matriz quadrada une o seu canto inferior esquerdo ao canto superior direito (conforme mostrado na saída do problema proposto abaixo).

Escreva um programa (algorítmo) Java que declara uma matriz 3x3 e pede ao usuário para informar seus valores. Em seguida mostre todos os valores da matriz e a soma dos elementos da diagonal secundária.

Sua saída deverá ser parecida com a imagem abaixo:

Informe o valor para a linha 0 e coluna 0: 5
Informe o valor para a linha 0 e coluna 1: 2
Informe o valor para a linha 0 e coluna 2: 7
Informe o valor para a linha 1 e coluna 0: 5
Informe o valor para a linha 1 e coluna 1: 3
Informe o valor para a linha 1 e coluna 2: 12
Informe o valor para a linha 2 e coluna 0: 4
Informe o valor para a linha 2 e coluna 1: 10
Informe o valor para a linha 2 e coluna 2: 1

    5     2     7 
    5     3    12 
    4    10     1 

A soma dos elementos da diagonal secundária é: 14
Resposta/Solução:

Veja a resolução comentada deste exercício usando Java console:

package exercicios;

import java.util.Scanner;

public class Exercicios {
  public static void main(String[] args) {
    // vamos fazer a leitura usando a classe Scanner
    Scanner entrada = new Scanner(System.in);
    
    // vamos declarar e construir uma matriz de três linhas e
    // três colunas
    int matriz[][] = new int[3][3];
    int soma_diagonal = 0; // guarda a soma dos elementos na
    // diagonal secundária
    
    // vamos ler os valores para os elementos da matriz
    for(int i = 0; i < matriz.length; i++){ // linhas
      for(int j = 0; j < matriz[0].length; j++){ // colunas
        System.out.print("Informe o valor para a linha " + i 
          + " e coluna " + j + ": ");
        matriz[i][j] = Integer.parseInt(entrada.nextLine());       
      }       
    }
    
    // vamos mostrar a matriz da forma que ela foi informada
    System.out.println();
    for(int i = 0; i < matriz.length; i++){ // percorre as linhas
      for(int j = 0; j < matriz[0].length; j++){ // percorre as colunas
        System.out.printf("%5d ", matriz[i][j]);
      }
      // passa para a próxima linha da matriz
      System.out.println();
    }
    
    // vamos calcular a soma dos elementos da diagonal secundária
    int ordem = 3; // ordem da matriz
    for(int i = 1; i <= matriz.length; i++){
    for(int j = 1; j <= matriz[0].length; j++){
      if((i + j) == (ordem + 1)){
        soma_diagonal = soma_diagonal + matriz[i - 1][j - 1];
      }
    }
  }
    
    // finalmente mostramos a soma da diagonal secundária
    System.out.println("\nA soma dos elementos da diagonal secundária é: " + 
     soma_diagonal);
  }
}



Java ::: Desafios e Lista de Exercícios Resolvidos ::: Recursão (Recursividade)

Exercícios Resolvidos de Java - Uma função recursiva que conta quantas vezes um valor inteiro k ocorre em um vetor de inteiros

Quantidade de visualizações: 1436 vezes
Pergunta/Tarefa:

Escreva um método recursivo que conta quantas vezes um valor inteiro k ocorre em um vetor de 10 inteiros. Seu método deverá ter a seguinte assinatura:

public static int quantRepeticoes(int indice, int valor, int[] vetor){
  // sua implementação aqui
}
Sua aplicação deverá solicitar ao usuário os valores do vetor e o valor a ser pesquisado. Sua saída deverá ser parecida com:

Informe o 1 valor: 2
Informe o 2 valor: 7
Informe o 3 valor: 4
Informe o 4 valor: 7
Informe o 5 valor: 1

Informe o valor a ser pesquisado no vetor: 7
O valor informado se repete 2 vezes.
Resposta/Solução:

Veja a resolução comentada deste exercício usando Java console:

package exercicio;

import java.util.Scanner;

public class Exercicio {
  public static void main(String[] args) {
    // cria um novo objeto da classe Scanner
    Scanner entrada = new Scanner(System.in);
    
    // vamos declarar um vetor de 10 inteiros
    int valores[] = new int[5];
    
    // vamos pedir ao usuário que informe os valores do vetor
    for(int i = 0; i < valores.length; i++){
      System.out.print("Informe o " + (i + 1) + " valor: ");
      // efetua a leitura do valor informado para a posição atual do vetor
      valores[i] = Integer.parseInt(entrada.nextLine());
    }
    
    // agora vamos pedir para informar o valor a ser pesquisado
    System.out.print("\nInforme o valor a ser pesquisado no vetor: ");
    int valor = Integer.parseInt(entrada.nextLine());
    
    // e vamos ver a quantidade de repetições
    int repeticoes = quantRepeticoes(0, valor, valores);
    System.out.print("O valor informado se repete " + repeticoes + " vezes.");
    
    System.out.println("\n");
  }
  
  // método recursivo que recebe um valor
  public static int quantRepeticoes(int indice, int valor, int[] vetor){
    if(indice == vetor.length - 1){ // caso base...hora de parar a recursividade
      if(vetor[indice] == valor){
        return 1; // mais um repetição foi encontrada
      }
    }
    else{ // dispara mais uma chamada recursiva
      if(vetor[indice] == valor){ // houve mais uma repetição
        return 1 + quantRepeticoes(indice + 1, valor, vetor);
      }
      else{
        return 0 + quantRepeticoes(indice + 1, valor, vetor); // não repetiu
      }
    }
    
    return 0; // só para deixar o compilador satisfeito...esta linha nunca é executada
  }
}



PHP ::: Dicas & Truques ::: Matemática e Estatística

Como calcular raiz quadrada usando PHP - Como efetuar cálculos de raiz quadrada em PHP usando a função sqrt()

Quantidade de visualizações: 14049 vezes
Em algumas situações precisamos obter a raiz quadrada de um determinado valor. Em PHP isso pode ser feito com o auxílio da função sqrt(). Veja um exemplo de seu uso:

<?
  // valor cuja raiz quadrada será obtida
  $valor = 25;
  
  // vamos obter a raiz quadrada do valor acima
  $raiz_quadrada = sqrt($valor);

  // vamos exibir o resultado
  echo "A raiz quadrada de " . $valor . " é: " . $raiz_quadrada;
?>

Ao executarmos este código teremos o seguinte resultado:

A raiz quadrada de 25 é: 5.

Note, porém, que se tentarmos obter a raiz quadrada de um número negativo o valor será NAN. Veja:

<?
  // valor cuja raiz quadrada será obtida
  $valor = -25;
  
  // vamos obter a raiz quadrada do valor acima
  $raiz_quadrada = sqrt($valor);

  // vamos exibir o resultado
  echo "A raiz quadrada de " . $valor . " é: " . $raiz_quadrada;
?>

Ao executarmos este código teremos o seguinte resultado:

A raiz quadrada de -25 é: NAN.


JavaScript ::: Dicas & Truques ::: Arrays e Matrix (Vetores e Matrizes)

Como testar se ao menos um elemento de um array satisfaz uma condição em JavaScript usando a função some()

Quantidade de visualizações: 1701 vezes
O método some(), adicionado à linguagem JavaScript por meio do ECMAScript 5 (JavaScript 5, ECMAScript 2009, ES5) pode ser usado quando queremos verificar se um ou mais elementos de um vetor satisfaz uma determinada condição.

Este método nos permite fornecer uma função de callback que será chamada para cada um dos elementos do vetor. E o retorno do método some() é um valor true se ao menos um dos elementos passar no teste e false em caso contrário. Tão logo o valor true seja satisfeito, a função some() encerra sua execução imediatamente.

Veja um exemplo no qual testamos se AO MENOS um elemento do array é maior que 70:

<script type="text/javascript">
  function testar(valor, indice, vetor){
    if(valor > 70){
      return true;
    }
  }  

  var valores = new Array(21, 50, 30, 71, 12, 3);
  // vamos verificar se AO MENOS um valor é maior que 70
  var res = valores.some(testar);  
  window.alert("Alguns valores passaram no teste: " + res);
</script>

Aqui o resultado será true, pois o valor 71 passou no teste. É importante observar que, assim que a função de callback retorna true pela primeira vez, o método some() já abandona sua execução.

Uma função passada para o método some() pode conter os seguintes argumentos (nessa mesma ordem):

a) O valor do item;
b) O índice do item (opcional);
c) O vetor a partir do qual o método some() está sendo chamado (opcional).

Como última observação, o método some() não modifica o array original.


VisuAlg ::: Desafios e Lista de Exercícios Resolvidos ::: Laços

Exercícios Resolvidos de VisuAlg - A concessionária de veículos "CARANGO VELHO" está vendendo os seus veículos com descontos. Faça um algoritmo VisuAlg

Quantidade de visualizações: 141 vezes
Pergunta/Tarefa:

A concessionária de veículos "CARANGO VELHO" está vendendo os seus veículos com descontos. Faça um algoritmo VisuAlg que calcule e exiba o valor do desconto e o valor a ser pago pelo cliente de vários carros. O desconto deverá ser calculado de acordo com o ano do veículo.

Até o ano 2000 o desconto é 12%, e acima de 2000 o desconto é de 7%. Seu código deverá solicitar o valor do carro e o seu ano e aplicar o desconto correspondente. Além disso o sistema deverá perguntar se deseja continuar calculando descontos até que a resposta seja: "(N) Não". Informar o total de carros com ano até 2000 e o total geral a ser pago pelo cliente.

Sua saída deve ser parecida com:

Informe o valor do carro sem desconto: 25000
Informe o ano do carro: 2010
Desconto concedido: 1750
Valor do carro com desconto: 23250
Deseja adicionar mais carros? [S, N]: S

Informe o valor do carro sem desconto: 30500
Informe o ano do carro: 1985
Desconto concedido: 3660
Valor do carro com desconto: 26840
Deseja adicionar mais carros? [S, N]: S

Informe o valor do carro sem desconto: 16800
Informe o ano do carro: 1990
Desconto concedido: 2016
Valor do carro com desconto: 14784
Deseja adicionar mais carros? [S, N]: N

Total de carros com ano até 2000: 2
Total geral a pagar: 64874
Resposta/Solução:

Veja a resolução comentada deste exercício usando VisuAlg:

algoritmo "Cálculo de desconto nos preços de vários veículos"

var
  // variáveis usadas na resolução do problema
  valor_carro, valor_desconto, valor_carro_desconto: real
  total_geral: real
  ano: inteiro
  total_carros_ano_2000: inteiro
  resposta: caractere

inicio
  // vamos inicializar os valores de algumas variáveis
  total_geral <- 0
  total_carros_ano_2000 <- 0

  // repete até que o usuário informe o valor "N"
  repita
    // vamos ler o valor do carro sem desconto
    escreva("Informe o valor do carro sem desconto: ")
    leia(valor_carro)

    // vamos ler o ano do carro
    escreva("Informe o ano do carro: ")
    leia(ano)

    // o ano é menor ou igual a 2000
    se ano <= 2000 entao
      valor_desconto <- valor_carro * (12.0 / 100.0)
      // vamos somar mais este carro
      total_carros_ano_2000 <- total_carros_ano_2000 + 1
    senao
      valor_desconto <- valor_carro * (7.0 / 100.0)
    fimse

    // calculamos o valor do carro com o desconto
    valor_carro_desconto <- valor_carro - valor_desconto
    escreval("Desconto concedido: ", valor_desconto)
    escreval("Valor do carro com desconto: ", valor_carro_desconto)

    // somamos mais este valor ao total geral
    total_geral <- total_geral + valor_carro_desconto

    // perguntamos se o usuário deseja adicionar mais carros
    escreva("Deseja adicionar mais carros? [S, N]: ")
    leia(resposta)

    // adiciona uma quebra de linha
    escreval()
  ate resposta = "N"

  // mostramos os resultados
  escreval("Total de carros com ano até 2000: ", total_carros_ano_2000)
  escreval("Total geral a pagar: ", total_geral)

fimalgoritmo



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